题意 : 有种不同的字符，每种字符有无限个，要求用这k种字符构造两个长度为n的字符串a和b，使得a串和b串的最长公共部分长度恰为m，问方案数 

 

分析 :

直觉是DP

不过当时看到 n 很大、但是 m 很小的时候

发现此题DP并不合适、于是想可能是某种组合数学的问题可以直接公式算

看到题解的我、恍然大悟、对于这种数据、可以考虑一下矩阵快速幂优化的DP

首先要想到线性递推的 DP 式子

最直观的想法就是 dp[i][j] = 到第 i 个位置为止、前面最长匹配长度为 j 的方案数

但是如果仔细想想、这样子的定义状态并不好转移、遂换一种思路

定义 dp[i][j] = 到第 i 个位置为止、以第 i 个字符为结尾的匹配串的长度为 j 的方案数

有转移

dp[i][0] = (dp[i-1][0] + dp[i-1][1] + .... + dp[i-1][m] ) * k * (k-1)   （k * (k-1) 的意义是a、b串第 i 个字符不一样的方案数）

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] * k ( j ≤ i )

然后尝试去构造矩阵、此处引用

但是注意一下这里的 DP 意义、答案最后并不是 dp[n][m]

dp[n][0] + dp[n][1] + ... + dp[n][m] 可以看成到第 n 个位置为止匹配长度 ≤ m 的方案数

那么如果可以得到匹配长度 ≤ m-1 的方案数两者相减就可以得到匹配长度恰为 m 的方案数了

所以做两次矩阵快速幂即可

 

#include
      
       #define LL long long#define ULL unsigned long long#define scl(i) scanf("%lld", &i)#define scll(i, j) scanf("%lld %lld", &i, &j)#define sclll(i, j, k) scanf("%lld %lld %lld", &i, &j, &k)#define scllll(i, j, k, l) scanf("%lld %lld %lld %lld", &i, &j, &k, &l)#define scs(i) scanf("%s", i)#define sci(i) scanf("%d", &i)#define scd(i) scanf("%lf", &i)#define scIl(i) scanf("%I64d", &i)#define scii(i, j) scanf("%d %d", &i, &j)#define scdd(i, j) scanf("%lf %lf", &i, &j)#define scIll(i, j) scanf("%I64d %I64d", &i, &j)#define sciii(i, j, k) scanf("%d %d %d", &i, &j, &k)#define scddd(i, j, k) scanf("%lf %lf %lf", &i, &j, &k)#define scIlll(i, j, k) scanf("%I64d %I64d %I64d", &i, &j, &k)#define sciiii(i, j, k, l) scanf("%d %d %d %d", &i, &j, &k, &l)#define scdddd(i, j, k, l) scanf("%lf %lf %lf %lf", &i, &j, &k, &l)#define scIllll(i, j, k, l) scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d", &i, &j, &k, &l)#define lson l, m, rt<<1#define rson m+1, r, rt<<1|1#define lowbit(i) (i & (-i))#define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i))#define fir first#define sec second#define VI vector
       
        #define ins(i) insert(i)#define pb(i) push_back(i)#define pii pair
        
         #define VL vector
         
          #define mk(i, j) make_pair(i, j)#define all(i) i.begin(), i.end()#define pll pair
          
           #define _TIME 0#define _INPUT 0#define _OUTPUT 0clock_t START, END;void __stTIME();void __enTIME();void __IOPUT();using namespace std;const int maxn = 1e5 + 10;const LL mod = 1e9 + 7;struct MAT{    LL val[12][12];    int sz;    MAT(){};    MAT(int _sz){ sz = _sz; memset(val, 0, sizeof(val)); }    friend MAT operator * (const MAT & A, const MAT & B){        MAT C(A.sz);        for(int k = 1; k <= C.sz; k++)            for(int i = 1; i <= C.sz; i++){                if(A.val[i][k] == 0) continue;                for(int j = 1; j <= C.sz; j++){                    C.val[i][j] = C.val[i][j] + A.val[i][k] * B.val[k][j] % mod;                    if(C.val[i][j] >= mod) C.val[i][j] -= mod;                }            }        return C;    }};MAT pow_mod(MAT a, LL b){    MAT ret(a.sz);    for(int i=1; i<=ret.sz; i++) ret.val[i][i] = 1;    while(b){        if(b & 1) ret = ret * a;        a = a * a;        b >>= 1;    }return ret;}LL Cal(int n, int m, int k){    MAT A(m+1);    for(int i=1; i<=A.sz; i++) A.val[1][i] = 1LL * k * (k - 1);    for(int i=2; i<=A.sz; i++) A.val[i][i-1] = k * 1LL;    A = pow_mod(A, n);    LL ret = 0;    for(int i=1; i<=A.sz; i++)        ret = (ret + A.val[i][1]) % mod;    return ret;}int main(void){__stTIME();__IOPUT();    int nCase;    sci(nCase);    while(nCase--){        int n, m, k;        sciii(n, m, k);        printf("%lld\n", (Cal(n, m, k) - Cal(n, m-1, k) + mod) % mod);    }__enTIME();return 0;}void __stTIME(){    #if _TIME        START = clock();    #endif}void __enTIME(){    #if _TIME        END = clock();        cerr<<"execute time = "<<(double)(END-START)/CLOCKS_PER_SEC<